新东方在线网课

一元一次方程应用题的难点通常不在解方程，而在把同一件事的两种数量表示写成等式。先选未知量，再找不随表达方式改变的关系，最后回到情境检查答案。本文用购物、路程和人数三个原创例子示范，解释数量、单位与限制怎样进入方程，适合已掌握一元一次方程基本解法的学生。

一、购物题先把每一项支出写完整

例题：买三个相同的笔记本和一支六元的笔，共付二十七元，每个笔记本多少元？设每个笔记本为x元，三个笔记本的费用为三x元，加上笔的六元，等于实际支付的二十七元，因此三x加六等于二十七。两边减六，得到三x等于二十一，再除以三，x等于七。

方程中的三表示数量，x表示单价，三x才表示费用。不能把“三个笔记本”直接写成三加x，那样是把数量和价格相加。建表时分为物品、数量、单价和费用四栏，每行费用等于数量乘单价，最后把各项费用相加，关系就很清楚。

反查时不要只把七代回方程形式。说成一句完整的话：三个笔记本共二十一元，加六元的笔正好二十七元，单价为正且与三个本子相同的条件一致。方程计算正确与情境解释完整，是两项都要完成的工作。

二、路程题要把速度与时间的单位统一

例题：一名学生从家步行去图书馆，前十分钟每分钟走六十米，之后每分钟走五十米，全程一千一百米，后一段走了多少分钟？设后一段为x分钟，前段路程为六十乘十，等于六百米；后段路程为五十x米。方程是六百加五十x等于一千一百，解得x等于十。

这里速度的单位是米每分钟，时间也用分钟，乘积才得到米。如果改成每小时三点六千米，就要把十分钟换成六分之一小时，或者先把速度换成每分钟六十米。不能用三点六直接乘十，再与米为单位的路程相加。

也可以先用一千一百减六百，得后一段五百米，再除以每分钟五十米。这种算术方法与方程表达同一个关系，方程不是另造一个公式。比较两种方法，可以帮助学生看清未知时间在等式中所处的位置，而不是把字母视作额外困难。

三、“多几人”要放在同一个比较基准上

例题：甲乙两个小组共三十一人，甲组比乙组多五人，甲乙各有多少人？设乙组有x人，甲组就是x加五人。总人数关系是x加括号x加五等于三十一，化简为二x加五等于三十一，解得x等于十三，甲组为十八人。

如果设甲组为x人，乙组就写成x减五，方程为x加括号x减五等于三十一，得到甲组十八人。两种设法都成立，但字母代表的对象不同，答案解释也不同。解到x等于某个数后，必须回看最初设的是谁，不能把算出的乙组人数误填在甲组位置。

常见错误是把两组分别都写成x，忽略多出的五人；或者在总人数中把五人重复加两次。画两条线段，一条比另一条多一小段五，就能看见两个相等的基础部分与额外人数。图不是代替方程，而是帮助检查每一项是否有对应的实际数量。

四、整数限制也属于答案检查的一部分

把上一题总人数改成三十人，仍要求甲比乙多五人。方程为二x加五等于三十，解得乙组十二点五人。方程在实数范围内有解，但人数不能为半人，因此这个具体人数情境没有符合全部条件的解。不能把十二点五四舍五入成十三，否则总数与差都会改变。

类似地，求边长时要检查结果是否为正，求时间时要检查是否落在题目描述的阶段。某个负数能够使等式成立，不代表它在现实条件下就是答案。建立方程时，可以把限制写在设未知量旁边，例如“x为正整数”，这样检验就不会成为临时想起的一步。

若题目明确允许近似测量，再按要求取近似值；若题目是精确计数，就不能随意近似。区分这两种情况，可以避免把“计算有小数”都当作算错，也能避免把不合情境的结果强行修成一个看似合理的整数。

五、用一张四步表整理应用题

第一步设量，写清字母代表谁及其单位；第二步表达，把其他相关量改写成含字母的式子；第三步找关系，用总量、差量或相同量建立等式；第四步检验，确认结果符合数值关系和实际限制。不要跳过第二步，仅凭题中的数字顺序拼接方程。

练习：买四张相同门票，另付八元资料费，总共六十八元，每张门票多少元？设单价x元，四x加八等于六十八，解得x等于十五。反查四张票六十元，加八元为六十八元。进一步提问“资料费按每人八元收取”时，方程应改为四乘括号x加八等于六十八。条件改变后，关系也必须重新解释。

同一组数字可以对应不同关系，因此列方程靠的不是找到关键词后套固定式子，而是逐项说明每个量从哪里来。每写一项，都能用一句话解释其意义，应用题的结构就不再隐藏在文字里。